现在说回当年，德国数学家高斯把数论捧成了数学界的皇后。后来计算机登场，这个“纯数学”突然变得和打仗有关。德军在二战用爱尼格玛机发密电，图灵这帮人搞出统计学的办法破解了转子设置，提前把解密规则写进纸带，这下德军的动向全被英军看得一清二楚。有人说，要是没这套数学反谍战，战争起码还得再打十年。 传统密码挺麻烦，一把钥匙管全部门户。军方把密钥和电文混在一起发过去，密钥一旦泄露就全完蛋了。更何况密钥运输比情报本身还危险，还特别长难管。“密钥比密码更重要”成了大家最头疼的地方。 到了1976年，斯坦福大学的赫尔曼、迪菲还有默克勒三个人想出个新法子：把加密和解密分开来。他们提出来的公钥密码体制就是这么干的——公钥随便谁都能用它加密；私钥藏得严严实实只有自己留着。还有数字签名技术也上线了：用私钥签个名、公钥一验就知道是真是假。 接下来是MIT的里维斯特、沙米尔、阿德尔曼这几位大佬在1978年搞出了RSA算法。他们盯着“整数分解”这个难题不放。给你一个大整数n，要是能找出两个素数p和q让n=pq，这就挺难办的。现在最快的算法——波拉德数域筛法——要分解200位以上的n，估计得算几亿年都不一定行得通。 加密公式是C=Me（mod n），解密公式是M=Cd（mod n）。只要p和q守口如瓶，那个d就永远也算不出来。这时间成本太高了，谁也不想花上几亿年去试。 RSA的安全基础是“大数难分解”，可现在有一种更厉害的ECC（椭圆曲线密码）在有限域上的椭圆曲线上做文章。给定曲线y²=x³+ax+b和两个点P、Q，让你求个整数k让Q=kP，这就是椭圆曲线离散对数问题。现在的算法还没找到子指数级的解法。而RSA那个整数分解马上就要碰到量子霸权的墙了。 同样长的密钥下，ECC比RSA更稳当。芯片上用160 bit的ECC相当于3072 bit的RSA的防护力，但带宽和功耗都少了很多。所以现在从银行卡到物联网芯片，ECC正默默地守护着每一笔交易。 回头看现代公钥体系里的DHM（这个我没记错吧？）、RSA还是ECC，最底下全都是数论难题：整数分解、离散对数、椭圆曲线离散对数。这些难题越难破解密码就越硬；数学学得越深日子就过得越踏实。 当年陈省身先生主张把数论归入应用数学的时候挺前卫的。现在看来他更像个先知——数论不光被用到了极致，还一直在创造新的安全奇迹。