在1796年、1837年、1882年，数学史上发生了三次重大事件。这三次事件分别与Gauss、Wantzel和Lindemann有关，他们解决了Delian问题、倍立方问题和化圆为方问题。 Delian问题源于公元前430年的希腊Delos岛，当时岛上瘟疫肆虐。人们向阿波罗神使求助，得到的解药是扩大神庙前立方体祭坛的体积。要实现这个目标，就需要找到一种方法，把正方体的体积扩大一倍。这个问题被后人称为“倍立方”。古希腊人试图在直尺和圆规的限制下，解决这个难题。可太阳神阿波罗对于精确性有着严格要求，他能够一眼看出毫米级别的误差。于是，把无理数根号2精确地固定在图纸上成了古希腊人面临的第一个难题。这个问题被称为Delian问题。 Delian问题和三等分任意角、化圆为方这两个问题一起被称为古希腊三大尺规作图难题。它们一直困扰着数学家们两千年之久。 另外一个几何难题是正多边形的无限对角线。古希腊人已经知道如何画出正五边形，但是细心的数学家发现，从一个正五边形出发，可以无限次地制作出新的正五边形。这个过程中边长不断递减，却永不停歇。这说明正五边形对角线与边长的比值不是有理数。这个发现暗示着尺规作图在面对无限递归时束手无策。 Gauss在1796年证明了一个重要定理：如果一个正多边形的边数是2的幂次或Fermat素数乘积的话，那么就可以用尺规作出这个正多边形。这个定理解决了正17边形问题，并点燃了Gauss对数学终身的热爱。Gauss希望把17角星刻在自己的墓碑上作为纪念，但石匠拒绝了他，“因为看起来和圆差不多”。最终，Gauss把自己的17角星刻在了Brunswick雕像底座上作为数学史上最倔强的纪念。 进入19世纪，Wantzel在1837年证明了倍立方和三等分任意角都无法用尺规实现。Lindemann在1882年证明了π是一个超越数，宣告化圆为方同样也是无法实现的。 Wantzel和Lindemann证明给人们展示了三大难题是不可能用直尺和圆规解决的。 那么为什么直尺和圆规只能画出有限次根号呢？这个答案隐藏在“可构造数”里面。 当我们把单位长度设定为1，并建立直角坐标系时，平面上每个点都可以对应一个复数。能用直尺和圆规作出的点称为可构造点，对应这些点的数就是可构造数。可构造数必须满足加减乘除以及开二次根号这些运算封闭性。 换句话说，在直尺和圆规这个工具下得到的结果只能是有限次根号组成的数。 倍立方问题：假设存在这样一个数域链，并且通过这个链我们可以得到根号2，但是根据代数定理，这个根号2所在的空间维度是3维的，而我们要求只有2维空间才能得到它。因此这是不可能的。 三等分任意角问题：取60度角作为例子，60度角可以用余弦表示为三次代数方程根；类似地可以证明20度角不可构造；因此60度角无法三等分。但是特殊角度如45度、90度仍然可以用人工方法构造出来；所以这些特殊角度不包含在这个难题中。 化圆为方问题：π是一个超越数；而包含π的最小数域维度无限大；因此无法用直尺和圆规构造出π；所以化圆为方宣告失败。 两千多年过去了，Delos岛早已恢复平静；Gauss墓碑上依然沉默地站着17角星。三大难题至今无人能解；但是它们把人们对几何、代数和超越数的理解推向了极致；它们像三块冰冷的石头压在数学的脊梁上——提醒后来者：有些问题注定无法用常规工具解决；但正是这些难题，雕刻出了数学的脊梁。