今年巴西数学奥林匹克（BNO）的压轴题给大家出了一道思维急转弯，把老旧的Beatty定理玩出了新花样。以往的BNO几何题老是被伊朗“抢戏”，而且波兰给的难度又显得特别亲民，所以今年才难得看到这么一道独特的题目。 题目给了个设定：正整数集被分成了A和B两部分。但要注意的是，A里面的元素随便拿两个出来模2021都是同余的。现在我们要证明，这个划分肯定有问题。很多人一看到这题就会想Beatty定理：就是那个a、b互为倒数的分拆法。不过这回A里面的元素全是模2021同余的，根本没法保证和B没有交集，所以Beatty定理在这儿直接就失效了。 有两种思路能帮我们猜答案：第一种是简单情形暴击。如果A里面全是2021的倍数，那么B就是所有不是2021倍数的数。这样看来A和B合起来确实把自然数全包括了。但这种特例恰恰反证了Beatty定理的局限——因为Beatty定理要求a和b是无理数，而这里的a等于1/2021明显是有理数。 第二种是密度视角。A在自然数中的比例只有1/2021，剩下的1-1/2021都属于B。根据密度理论，A和B加起来几乎涵盖了所有的自然数。所以只要证明存在一个k既在A又在B就行了。 正式证明用的是夹逼准则收尾。假设结论不成立，也就是说不管怎么找k，它都只属于A或者只属于B。当k变得特别大的时候，就会在A和B两边跳来跳去产生无数个断点；但A和B都是无穷的集合，根本不可能同时满足没有断点。这就产生了矛盾！所以肯定有一个k既在A里又在B里，原题就这么证完了。 Beatty定理虽然这次失灵了，但它并没有彻底完蛋。Graham以前就把问题推广到了覆盖几何上去：两条平行线中间跨着一条线段，问能不能用这两条平行线把整条线段都盖住？R.J.Simpson接着又给出了有理Beatty序列的覆盖结论：对任意实数B，如果P和Q是互质的正整数，那么{⌊Pnx+Q⌋}就能把自然数都覆盖掉；特别是当P等于1、Q等于2021的时候，就正好符合我们这道题的情况。 这条“升级路线”告诉我们：定理只是工具，关键是要看透题目到底在考什么。 课后思考的时候也可以看看美国Promys入学题里藏着的Beatty影子。解答完后欢迎投稿到MathMaster Club，咱们一起把这些陈旧的定理玩出新花样来！