初一数学进阶：等差与等比数列全解。等差数列中，相邻两项的差保持恒定，这个差值叫公差d。如果三个数a、A、b形成等差数列，那么中间的数A被称作等差中项，它等于(a＋b)÷2。对于首项a₁且公差为d的等差数列，第n项可以表示为aₙ＝a₁＋(n－1)d。这个公式直接把位置n和数值an连接起来，所以称作通项公式。等差数列前n项的和是累加每个项得到的Sₙ。使用倒序相加法可以把累加转化为乘法运算。给定a₂＝3, a₆＝11时，先求出公差d＝(11－3)÷4＝2，再利用Sn公式计算S₇＝7(3＋11)÷2＝49。如果S₃＝9且S₆＝36，先求q²＝3然后用错位相减得出a₇＋a₈＋a₉＝153。小于100的自然数中被7除余2的数列首项a₁＝2、公差d＝7，前n项和为Sₙ＝n(2＋7n－1)÷2＝7n²－5n。解这个不等式得到n≤3，所以S₃＝48。等差数列奇偶项之和差了n个元素，故(150－165)÷n＝－5解得n＝9。等比数列里每一项与前一项的比值是固定的非零常数q。通项公式是aₙ＝a₁qⁿ₋¹。要证明{an}是等比数列可以通过用Sₙ表达式相减的方式来实现。当|q|＜1时，Sn＝a₁/(1－q)×(1－qⁿ)，当|q|≥1时，公式同样适用但要小心收敛性问题。已知a₂＝1－a₁且a₄＝9－a₃时，求出q＝2且a₁＝－1所以a₄＋a₅＝65。题目给出a₁＋a₂＝3且a₂＋a₃＝6时，两式相减得到a₃＝3故q＝2所以a₇＝48。第6天蜜蜂总数问题中首日1只以后每天新增“前一天蜂数×2－1”，因此构成首项1和公比2的等比数列所以总数是63只。第10次着地路程问题里每次上升高度依次减半形成一个等比数列所以总路程近似为97米。月平均增长率与年平均增长率互化公式为q¹²与年平均增长率的平方根相等。第9、10次倒纯酒精问题里每次倒出½L后剩余的酒精量是sqrt(a²－n)，通过两式相减可以得到倒出量递推关系最终总和为sqrt(a²－9)＋sqrt(a²－10)。对于求和Sn＝x＋2x²＋…＋nxⁿ可以通过错位相减得出nxⁿ²－Sn＝x(xⁿ－¹)/(x－¹)进而得到Sn＝[xⁿ/(x－¹)]²－xⁿ/(x－¹)。△ABC三内角构成等差数列时可通过2B＝A＋C且A＋B＋C＝180°解得B＝60°。已知前三项a, 2a－1, 3－a形成等差数列时先求公差d＝－a＋1再代入通项公式得到an＝3a－2n。有四个数形成等差数列它们的和是26且第二三两项积为40时通过列方程组解出公差d＝4且首项a₁＝－1所以这四个数是－5, −1, 3, 7。记ABC序列首项为2公差为7前n项和为Sₙ＝7n²－5n当Sₙ＜100时解得n≤3故S₃＝48。给出已知条件利用错位相减得出a₇＋a₈＋a₉＝153且利用S₃＝9和S₆＝36错位相减得到q²＝3接着求出a₉＝48再由已知条件利用S₃＝3和S₆＝24错位相减求得q²＝2进而算出a₉＝48最后给出求法：当ABC序列首项为2公差为7时前n项和为Sₙ＝7n²－5n当Sₙ＜100时解得n≤3故S₃＝48.已知Sn表达式求an时需注意n≥2的情况同时验证首项不符时分段定义函数.蜜蜂总数计算采用等比数列方式且每一步新增规则为“前一天蜂数×2－1”从而首项1公比2得到第6天总数63只.第10次着地路程计算采用等比数列方式且每次上升高度依次减半从而公比1/2得到总路程约97米.平均增长率互化问题利用公式q¹²与年平均增长率平方根相等进行转换.纯酒精倒出问题通过公式sqrt(a²－n)进行推导且两式相减得到倒出量递推关系最终总和为sqrt(a²－9)＋sqrt(a²－10).求和问题利用错位相减方式进行推导最终得到[ xⁿ/(x－1)]²－xⁿ/(x－1).