你把这题想成几何版的迷宫，里面布满了切线、角平分线和平行线。大家可能一看就觉得头大，但千万别急，先按照图上的样子，把已知条件都给标出来，再慢慢琢磨怎么突破。 CMO的几何题证明全纪录来了，这次消点法破局，就是把这些乱七八糟的圆和交点都给消灭掉。01题目的出现让大家眼前一亮，△ABC里，AD是角平分线，E在AD上。EF、EG分别是△ABD和△ACD的外接圆切线，F和G就是切点。CF和BG相交于J，过J作BC的平行线，分别交DF、DG、DE于H、I、K。我们要证明的是HK等于IJ。 第一步把圆心请出舞台，其实真要解决的是让人头疼的切点F。根据切线性质，EF的平方等于EA乘ED，同样EG的平方也是这样，所以EF和EG长度相等。还有一个隐藏线索就是角平分线AD平分∠BAC，这个后面会多次用到。把圆心一按下去，舞台就宽敞了。 接下来发现BCGF这四个点共圆是关键。有了共圆的条件，角度就能直接倒成直线上的角了，平行线JK也自然登场。通过共圆的等价表述可以推导出一系列关系，最终简化成角度相等的式子。因为AD平分∠BAC，所以∠EAB等于∠EAC，再代入前面的式子就能证明BCGF四点共圆。 再给BF、CG、DA这三根线找个共同点P，这就是根心定理起作用了。这时圆心E还有A、B、C都被请出舞台了，只剩下直直的几根线。 最后用平行线版的线束定理来收尾。JH和BC平行，利用这个定理直接算出HJ等于KI，所以IJ等于HK。整个过程看似复杂，但其实就是步步为营地消点和计算。 总结一下：共圆是暗线，消点是主线。先压圆把切点消灭掉；再找圆把角倒成直线；后证圆把多余交点归零；最后用线束定理算出比例。抓住共圆这条暗线，剩下的就是按部就班的事儿了。